Arithmetisches Mittel: Formel, Beispiele und Rechner

Kennzahlen deiner Daten
Kennzahl	Wert
Anzahl n	5
Summe	30
Median	6
Spannweite	4

Was ist das arithmetische Mittel?

Das arithmetische Mittel ist der Wert, den du bekommst, wenn du alle Zahlen addierst und die Summe durch ihre Anzahl teilst. Im Alltag heißt es Durchschnitt oder Mittelwert. Es beschreibt mit einer einzigen Zahl, wo die Werte im Schnitt liegen. Die Grundidee mit einem Bild erklärt die Seite Was ist ein Mittelwert?, zum Üben gibt es Aufgaben mit Lösungen.

Formel mit Summenzeichen

Für n Werte x₁, x₂ bis xₙ gilt:

\overline{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

Das Summenzeichen Σ ist nur eine Kurzschrift: Es bedeutet „addiere alle xᵢ, von i = 1 bis i = n“. Der Bruch 1 : n davor teilt die Summe durch die Anzahl. Für 4, 8, 6, 5 und 7 heißt das:

Erst addieren, dann durch die Anzahl der Werte teilen.

Die Summe ist 30, die Anzahl 5, und 30 : 5 = 6. Für Schulnoten wie 2, 3, 1, 2 und 4 rechnest du genauso: 12 : 5 = 2,4. Zählen manche Noten doppelt, hilft der Notendurchschnitt-Rechner.

Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle

Oft stehen die Werte nicht einzeln da, sondern in einer Tabelle mit Häufigkeiten. Ein Notenspiegel aus einer Klasse mit 20 Schülerinnen und Schülern:

Note	1	2	3	4	5
Anzahl	3	8	6	2	1

Statt jede Note einzeln aufzuschreiben, nimmst du jede Note mal ihre Häufigkeit, addierst diese Produkte und teilst durch die Summe der Häufigkeiten:

Note mal Anzahl, dann die Summen teilen.

Das ergibt 50 : 20 = 2,5. Diese Form heißt gewogenes arithmetisches Mittel. Zählen Werte nicht wegen ihrer Häufigkeit, sondern wegen eines Gewichts unterschiedlich viel, ist das das gewichtete Mittel.

Klassierte Daten

Bei vielen Messwerten fasst man sie oft in Klassen zusammen, etwa den Schulweg in Minuten: 4 Kinder brauchen 0 bis 10 Minuten, 9 Kinder 10 bis 20, 5 Kinder 20 bis 30 und 2 Kinder 30 bis 40. Die genauen Werte kennst du dann nicht mehr. Deshalb rechnest du mit der Mitte jeder Klasse:

Klassenmitten bilden, dann wie bei der Häufigkeitstabelle.

Im Schnitt dauert der Schulweg also etwa 17,5 Minuten. Das ist ein Näherungswert, denn innerhalb jeder Klasse tust du so, als lägen alle Werte genau in der Mitte.

Eigenschaften des arithmetischen Mittels

Es liegt immer zwischen dem kleinsten und dem größten Wert, muss aber selbst keiner der Werte sein.
Die Abweichungen aller Werte vom Mittelwert ergeben zusammen 0. Deshalb heißt der Mittelwert auch Schwerpunkt der Daten. Bei einzelnen Werten zeigt die Probe oben das für deine Zahlen.
Addierst du zu jedem Wert dieselbe Zahl, wächst der Mittelwert um genau diese Zahl. Verdoppelst du jeden Wert, verdoppelt sich auch der Mittelwert.
Es reagiert stark auf Ausreißer. Für 2, 3, 3, 4 und 27 ist das Mittel 7,8, obwohl vier von fünf Werten bei 2 bis 4 liegen. Der Median ist hier 3. Mehr dazu unter Ausreißer und Mittelwert.

Arithmetisches Mittel oder Median?

Liegen die Werte gleichmäßig verteilt, sind Mittelwert und Median fast gleich, und du kannst beide nehmen. Gibt es einzelne sehr große oder sehr kleine Werte, etwa bei Einkommen oder Mieten, beschreibt der Median die typische Mitte besser. Für Noten, Messwerte und Punkte ist das arithmetische Mittel der Standard.

Arithmetisches Mittel in Excel und Google Sheets

Für einzelne Werte heißt die Funktion MITTELWERT. Stehen die Zahlen in A2 bis A6:

=MITTELWERT(A2:A6)

Für eine Häufigkeitstabelle mit den Werten in Spalte A und den Häufigkeiten in Spalte B rechnest du =SUMMENPRODUKT(A2:A6;B2:B6)/SUMME(B2:B6). Weitere Formeln findest du in der Anleitung Mittelwert in Google Sheets.

Häufige Fragen

Ist das arithmetische Mittel dasselbe wie der Durchschnitt?

Ja. Wenn im Alltag vom Durchschnitt oder Mittelwert die Rede ist, ist fast immer das arithmetische Mittel gemeint: Summe durch Anzahl. Andere Mittelwerte wie das geometrische oder harmonische Mittel werden ausdrücklich so genannt.

Was bedeutet x̄?

x̄ (gesprochen „x quer“) ist das übliche Zeichen für das arithmetische Mittel einer Liste von Werten x₁, x₂ bis xₙ. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung schreibt man für den Erwartungswert dagegen μ.

Muss das arithmetische Mittel einer der Werte sein?

Nein. Der Mittelwert der Noten 2 und 3 ist 2,5, obwohl es diese Note nicht gibt. Bei ganzen Zahlen kommt oft eine Kommazahl heraus. Sicher ist nur: Er liegt nie unter dem kleinsten und nie über dem größten Wert.

Was ist das gewogene arithmetische Mittel?

Beim gewogenen (gewichteten) Mittel zählt jeder Wert so oft, wie seine Häufigkeit oder sein Gewicht angibt. Aus einer Häufigkeitstabelle rechnest du Summe aus Wert mal Häufigkeit geteilt durch die Summe der Häufigkeiten. Mehr dazu beim gewichteten Mittel.

Wann passt das arithmetische Mittel nicht?

Bei starken Ausreißern beschreibt der Median die Mitte besser. Für Wachstumsraten nimmst du das geometrische Mittel, für Geschwindigkeiten auf gleich langen Strecken das harmonische.

Wie rechne ich das arithmetische Mittel mit dem Taschenrechner?

Tipp alle Werte mit Plus ein, schließ die Summe in Klammern und teil durch die Anzahl: (4 + 8 + 6 + 5 + 7) : 5 = 6. Ohne Klammern rechnet der Taschenrechner Punkt vor Strich und teilt nur den letzten Wert.

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