Drei Durchschnittswerte für dieselben Zahlen
In der Statistik gibt es mehr als einen Durchschnitt. Zehn Personen haben gezählt, wie viele Bücher sie im letzten Jahr gelesen haben: 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6 und 12. Was ist hier „durchschnittlich“? Das hängt von der Frage ab:
- Am häufigsten kommen 2 Bücher vor. Das ist der Modalwert.
- In der Mitte der Reihe liegen 3 Bücher. Das ist der Median.
- Gleichmäßig verteilt wären es 40 : 10 = 4 Bücher. Das ist der Mittelwert.
Diese Kennzahlen heißen Lagemaße oder Lageparameter, weil sie sagen, wo deine Daten liegen. Was ein Mittelwert genau ist, erklärt die Seite Was ist ein Mittelwert?
Der Modalwert: der häufigste Wert
Der Modalwert, auch Modus genannt, ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Abgekürzt wird er meist mit Mo oder D. Du musst dafür nichts rechnen, nur zählen:
- Schreib alle verschiedenen Werte untereinander.
- Mach für jedes Vorkommen einen Strich. Jeder fünfte Strich geht quer durch die vier davor, so behältst du den Überblick.
- Der Wert mit den meisten Strichen ist der Modalwert.
Sortieren musst du nicht, auch wenn es hilft. Drei Sonderfälle kommen in Aufgaben oft vor:
- Zwei Werte kommen gleich oft und am häufigsten vor: Dann gibt es zwei Modalwerte. Die Reihe 1, 1, 2, 3, 3, 4 hat die Modalwerte 1 und 3.
- Alle Werte kommen gleich oft vor: Dann gibt es keinen Modalwert, denn keiner sticht heraus. Das gilt für 1, 2, 3, 4.
- Die Daten sind gar keine Zahlen: Der Modalwert funktioniert trotzdem. Wählen zwölf Kinder fünfmal Blau, viermal Rot und dreimal Grün, ist Blau der Modalwert.
In Excel und Google Sheets liefert =MODUS.EINF(A2:A11) einen einzelnen Modalwert, auch wenn es mehrere gibt. Alle Modalwerte bekommst du mit =MODUS.VIELF(A2:A11). Kommt kein Wert doppelt vor, zeigt die Tabelle einen Fehler.
Der Median: der Wert in der Mitte
Für den Median sortierst du die Werte und nimmst den mittleren. Bei einer geraden Anzahl wie hier sind es zwei mittlere Werte, nämlich 3 und 3, und du nimmst ihren Mittelwert. Mindestens die Hälfte der Personen hat also höchstens 3 Bücher gelesen. Der Median bleibt stehen, wenn aus den 12 Büchern 120 werden.
Der Mittelwert: gleichmäßig verteilt
Der Mittelwert rechnet mit jeder einzelnen Zahl: 40 : 10 = 4. Das ist seine Stärke, weil keine Information verloren geht, und zugleich seine Schwäche, weil einzelne Ausreißer ihn stark verschieben. Werden aus den 12 Büchern 120, steigt er von 4 auf 14,8, während Modalwert und Median gleich bleiben.
Welcher Durchschnittswert passt wann?
Für die Wahl gibt es zwei Fragen: Was für Daten hast du, und gibt es extreme Werte? Bei der Art der Daten spricht man vom Skalenniveau. Es legt fest, welche Lagemaße überhaupt einen Sinn ergeben.
| Daten | Beispiel | Sinnvoll sind |
|---|---|---|
| Kategorien ohne Reihenfolge (nominal)Lieblingsfarbe, Wohnort | Lieblingsfarbe, Wohnort | Modalwert |
| Ränge mit Reihenfolge (ordinal)Schulnoten, Kleidergrößen, Sterne | Schulnoten, Kleidergrößen, Sterne | Modalwert, Median |
| Messwerte (metrisch)Körpergröße, Zeit, Gehalt | Körpergröße, Zeit, Gehalt | Modalwert, Median, Mittelwert |
Bei Schulnoten nimmt man es in der Praxis nicht so genau: Streng genommen sind sie Ränge, trotzdem wird überall ein Notendurchschnitt berechnet. In einer Statistikarbeit an der Uni solltest du das aber dazuschreiben.
Hast du Messwerte, entscheidet die Verteilung. Liegen die Werte gleichmäßig um die Mitte, nimmst du den Mittelwert. Gibt es einzelne extreme Werte, passt der Median besser. Deshalb nennen Berichte über Gehälter häufig den Median: Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Mittelwert nach oben, und die mittlere Person verdient weniger, als er vermuten lässt. Den Modalwert nimmst du, wenn du wissen willst, was am häufigsten vorkommt, zum Beispiel welche Schuhgröße ein Laden am meisten braucht.
Was der Abstand zwischen den Werten verrät
Der Vergleich der drei Werte zeigt dir, wie deine Daten verteilt sind. Als Faustregel gilt:
- Modalwert < Median < Mittelwert: Die Verteilung ist rechtsschief, mit einzelnen hohen Werten. Das ist bei den Büchern der Fall.
- Mittelwert < Median < Modalwert: Die Verteilung ist linksschief, mit einzelnen niedrigen Werten.
- Alle drei etwa gleich: Die Verteilung ist ungefähr symmetrisch.
Das ist eine Faustregel und kein Gesetz. Bei kleinen Datenmengen kann sie auch einmal nicht zutreffen, also schau dir die Werte immer auch selbst an.
Lagemaße und Streuungsmaße
Lagemaße sagen, wo die Mitte liegt. Wie weit die Werte um diese Mitte verteilt sind, sagen sie nicht. Zwei Klassen können beide den Schnitt 3,0 haben, obwohl in der einen fast alle eine 3 schreiben und in der anderen nur Einsen und Fünfen vorkommen.
Dafür gibt es Streuungsmaße: Die Spannweite ist der Abstand zwischen dem größten und dem kleinsten Wert, bei den Büchern 12 − 1 = 11. Genauer sind die Varianz und die Standardabweichung. Zum Mittelwert gehört deshalb in einer Auswertung fast immer die Standardabweichung, zum Median oft der Interquartilsabstand.
Weitere Mittelwerte
Für bestimmte Fragen reicht das einfache Mittel nicht. Haben Werte unterschiedliches Gewicht, rechnest du mit dem gewichteten Mittel, bei Wachstumsraten mit dem geometrischen, bei Geschwindigkeiten mit dem harmonischen. Üben kannst du das alles mit den Aufgaben mit Lösungen.
Häufige Fragen
Was ist der Modalwert?
Der Wert, der in einer Liste am häufigsten vorkommt. In 2, 3, 3, 5 ist das die 3. Modalwert und Modus sind zwei Namen für dieselbe Sache.
Wie berechne ich den Modalwert?
Eigentlich gar nicht, du zählst nur: Schreib jeden Wert auf, mach für jedes Vorkommen einen Strich und nimm den Wert mit den meisten Strichen. In Excel und Google Sheets erledigt das =MODUS.EINF(A2:A11).
Was ist, wenn zwei Werte gleich oft und am häufigsten vorkommen?
Dann gibt es zwei Modalwerte, und du gibst beide an. Bei 1, 1, 2, 3, 3, 4 sind das 1 und 3. So eine Verteilung heißt bimodal.
Kann es sein, dass es keinen Modalwert gibt?
Ja. Kommt jeder Wert gleich oft vor, wie bei 1, 2, 3, 4, sticht keiner heraus. In Lehrbüchern wird das nicht ganz einheitlich gehandhabt: Manche nennen dann alle Werte Modalwerte. Dieser Rechner sagt „kein Modalwert“.
Was ist der Unterschied zwischen Modus, Median und Mittelwert?
Der Modus ist der häufigste Wert, der Median steht in der Mitte der sortierten Reihe und der Mittelwert ist die Summe geteilt durch die Anzahl. Bei 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 12 ergibt das 2, 3 und 4.
Was sind Lagemaße?
Kennzahlen, die sagen, wo die Mitte oder der Schwerpunkt deiner Daten liegt. Die drei wichtigsten sind Modalwert, Median und Mittelwert. Lagemaß, Lageparameter und Maß der zentralen Tendenz bedeuten dasselbe.
Weitere Rechner
- Mittelwert-Rechner Alle Mittelwerte auf einmal, mit Rechenweg
- Notendurchschnitt Schule, Oberstufen-Punkte, Uni
- Arithmetisches Mittel Formel, Häufigkeitstabelle, Klassen
- Gewichtetes Mittel Notenschnitt, ECTS, Gewichtungen
- Geometrisches Mittel Wachstumsraten und Faktoren
- Harmonisches Mittel Geschwindigkeit, Preise, Widerstände
- Durchschnittsgeschwindigkeit Strecke durch Zeit, auch in Etappen
- Quadratisches Mittel RMS und Effektivwert
- Median Der Wert in der Mitte
- Standardabweichung Wie stark die Werte streuen
- Varianz Mittlere quadratische Abweichung