Geometrisches Mittel berechnen: Rechner für Wachstumsraten

Kennzahlen deiner Werte
Kennzahl	Wert
Anzahl der Werte	3
Produkt	64
Gesamtveränderung	–
Arithmetisches Mittel	≈ 4,6667
Arithmetisch minus geometrisch	≈ 0,6667

So berechnest du das geometrische Mittel

Beim geometrischen Mittel multiplizierst du alle Werte und ziehst aus dem Produkt die n-te Wurzel, wobei n die Anzahl der Werte ist.

{\overline{x}}_{g} = \sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot \dots \cdot x_{n}}

Mit den Zahlen 2, 8 und 4 sieht das so aus: Das Produkt ist 64, die dritte Wurzel aus 64 ist 4.

Erst multiplizieren, dann die Wurzel mit der Anzahl der Werte ziehen.

Das arithmetische Mittel derselben Zahlen wäre 4,67. Das geometrische Mittel ist kleiner, weil der große Wert 8 beim Multiplizieren weniger Gewicht bekommt als beim Addieren.

Durchschnittliche Wachstumsrate berechnen

Am häufigsten brauchst du das geometrische Mittel für Veränderungen in Prozent. Ein Beispiel: Ein Umsatz wächst vier Jahre lang um +8 %, +12 %, −3 %, +15 %. Wie stark ist er im Schnitt pro Jahr gewachsen?

Mach aus jeder Veränderung einen Faktor: +8 % wird 1,08, −3 % wird 0,97.
Multipliziere die Faktoren: 1,08 · 1,12 · 0,97 · 1,15 ≈ 1,3493.
Zieh die 4. Wurzel: $\sqrt[4]{1,3493}$ ≈ 1,0778.
Zieh 1 ab: 1,0778 − 1 = 0,0778, also +7,78 % pro Jahr.

Die Probe: 1,0778 hoch 4 ergibt wieder etwa 1,3493. Hättest du die vier Prozentzahlen einfach gemittelt, kämen 8 % heraus. Damit würdest du das Wachstum überschätzen, denn 1,08 hoch 4 ist 1,3605 und nicht 1,3493.

Wann geometrisches, wann arithmetisches Mittel?

Die Faustregel: Werden die Werte im echten Leben addiert, nimm das arithmetische Mittel. Werden sie multipliziert, nimm das geometrische.

Geometrisch: Wachstumsraten, Zinsen und Zinseszinsen, Renditen, Inflation, Bevölkerungswachstum, Verhältnisse und Faktoren.
Arithmetisch: Noten, Längen, Temperaturen, Punkte, Messwerte, Beträge in Euro.

Ein Extrembeispiel zeigt, warum das wichtig ist: Eine Aktie steigt erst um 50 % und fällt dann um 50 %. Das arithmetische Mittel der Veränderungen ist 0 %, trotzdem hast du Geld verloren, denn 1,5 · 0,5 = 0,75. Das geometrische Mittel liefert −13,4 % pro Periode und beschreibt den Verlust richtig.

Warum ist das geometrische Mittel kleiner?

Für positive Zahlen gilt immer: harmonisches Mittel ≤ geometrisches Mittel ≤ arithmetisches Mittel. Je stärker die Werte schwanken, desto größer wird der Abstand. Sind alle Werte gleich, sind auch alle drei Mittelwerte gleich.

Geometrisches Mittel in Excel und Google Sheets

In beiden Programmen heißt die Funktion GEOMITTEL. Stehen die Faktoren in A1 bis A4, schreibst du:

=GEOMITTEL(A1:A4)

Stehen dort Prozentwerte wie 8 %, rechnest du in aktuellen Excel-Versionen =GEOMITTEL(1+A1:A4)-1. Google Sheets braucht dafür eine Matrixformel: =ARRAYFORMULA(GEOMITTEL(1+A1:A4))-1. Mehr Funktionen findest du in der Anleitung Mittelwert in Google Sheets.

Häufige Fragen

Wann verwendet man das geometrische Mittel?

Immer dann, wenn Werte miteinander multipliziert werden und nicht addiert: bei Wachstumsraten, Zinsen, Renditen, Preissteigerungen oder anderen prozentualen Veränderungen über mehrere Perioden. Für Noten, Längen oder Punkte nimmst du das arithmetische Mittel.

Warum sind keine negativen Zahlen erlaubt?

Aus einem negativen Produkt lässt sich keine gerade Wurzel ziehen, und eine Null macht das ganze Produkt zu null. Negative Veränderungen wie −3 % sind trotzdem kein Problem: Sie werden zum Faktor 0,97, und der ist positiv. Stell dafür den Rechner auf „Prozentuale Veränderungen“.

Wie berechne ich die durchschnittliche Rendite?

Wandle jede Jahresrendite in einen Faktor um (+6 % wird 1,06, −2 % wird 0,98), bilde das geometrische Mittel der Faktoren und zieh 1 ab. Kennst du nur Anfangs- und Endwert, rechnest du (Endwert : Anfangswert) hoch (1 : Jahre) minus 1.

Was ist der Unterschied zum arithmetischen Mittel?

Das arithmetische Mittel addiert und teilt, das geometrische multipliziert und zieht die Wurzel. Für positive Zahlen ist das geometrische Mittel nie größer als das arithmetische. Gleich sind beide nur, wenn alle Werte gleich sind.

Wie ziehe ich die n-te Wurzel mit dem Taschenrechner?

Die n-te Wurzel ist dasselbe wie „hoch 1 durch n“. Für die 4. Wurzel aus 1,3493 tippst du 1,3493 ^ (1 ÷ 4) und bekommst etwa 1,0778. Viele Taschenrechner haben dafür auch eine eigene Taste mit ˣ√.

Was ist das gewichtete geometrische Mittel?

Kommen Faktoren unterschiedlich oft vor, nimmst du jeden Faktor hoch seine Häufigkeit, multiplizierst alles und ziehst die Wurzel mit der Summe der Häufigkeiten. Drei Jahre mit +4 % und ein Jahr mit +10 % ergeben die 4. Wurzel aus 1,04³ · 1,10.

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Geometrisches Mittel berechnen

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Wachstumsrate aus Anfangs- und Endwert