Was ist die Varianz?
Die Varianz ist die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert. Sie sagt, wie stark Werte streuen: Liegen alle Werte nah am Mittelwert, ist sie klein, liegen sie weit auseinander, ist sie groß.
Formel der Varianz
Für eine Stichprobe mit n Werten und dem Mittelwert x̄ gilt:
Für die Grundgesamtheit steht unter dem Bruch n statt n − 1, und das Ergebnis heißt σ².
Varianz berechnen: Schritt für Schritt
Am Beispiel der Werte 2, 3, 3, 4 und 6:
- Mittelwert bilden: 18 : 5 = 3,6.
- Von jedem Wert den Mittelwert abziehen: −1,6, −0,6, −0,6, 0,4 und 2,4.
- Diese Abweichungen quadrieren: 2,56, 0,36, 0,36, 0,16 und 5,76.
- Die Quadrate addieren: 9,2.
- Durch n − 1 = 4 teilen: 9,2 : 4 = 2,3.
Für die Grundgesamtheit teilst du durch 5 und bekommst 9,2 : 5 = 1,84.
Warum durch n − 1?
Die Stichprobenvarianz soll die Streuung einer größeren Gruppe schätzen, die du gar nicht ganz kennst. Der Mittelwert der Stichprobe passt aber immer besonders gut zu genau diesen Werten, besser als der unbekannte wahre Mittelwert. Die Abweichungen fallen dadurch im Schnitt etwas zu klein aus. Das Teilen durch n − 1 statt durch n gleicht das aus. Man spricht von der Bessel-Korrektur.
Du kannst es auch so sehen: Kennst du den Mittelwert und n − 1 der Werte, liegt der letzte Wert schon fest. Nur n − 1 Abweichungen sind wirklich frei.
Hast du alle Werte der Gruppe, gibt es nichts zu schätzen, und du teilst durch n. Bei vielen Werten ist der Unterschied klein.
Verschiebungssatz: schneller rechnen
Die Summe der Abweichungsquadrate lässt sich auch ohne einzelne Abweichungen berechnen. Das spart Arbeit, wenn der Mittelwert eine krumme Zahl ist:
Für unser Beispiel: Die Quadrate 4, 9, 9, 16 und 36 ergeben 74. Davon ziehst du 5 · 3,6² = 64,8 ab:
Varianz und Standardabweichung
Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz: √2,3 ≈ 1,52. Sind deine Werte Längen in cm, hat die Varianz die Einheit cm² und die Standardabweichung wieder cm. Zum Deuten nimmst du deshalb meist die Standardabweichung. Die Varianz hat dafür beim Rechnen einen Vorteil: Die Varianzen unabhängiger Größen lassen sich addieren.
Varianz in Excel und Google Sheets
Für eine Stichprobe nimmst du VAR.S, für die Grundgesamtheit VAR.P. Stehen die Werte in A2 bis A6:
=VAR.S(A2:A6)
Die ältere Funktion VARIANZ rechnet wie VAR.S. Weitere Formeln findest du in der Anleitung Mittelwert in Google Sheets.
Häufige Fragen
Was sagt die Varianz aus?
Sie misst, wie stark Werte um ihren Mittelwert streuen: Je größer die Varianz, desto weiter liegen die Werte auseinander. Sie ist die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert. Sind alle Werte gleich, ist sie 0.
Was ist die empirische Varianz?
So heißt die Varianz, die du aus beobachteten Daten berechnest. In vielen Lehrbüchern ist damit die Stichprobenvarianz gemeint, die durch n − 1 teilt. Manche Bücher teilen bei der empirischen Varianz aber durch n. Schau deshalb im Zweifel in deine Formelsammlung.
Kann die Varianz negativ sein?
Nein. Sie ist aus Quadraten aufgebaut, und Quadrate sind nie negativ. Kommt bei dir ein negativer Wert heraus, steckt ein Rechenfehler darin.
Warum kann die Varianz größer sein als die Werte selbst?
Weil die Abweichungen quadriert werden. Die Werte 1 und 9 haben die Stichprobenvarianz 32, obwohl keiner der Werte größer als 9 ist. Das ist kein Fehler. Zum Vergleich mit den Werten eignet sich die Standardabweichung besser.
Wie ändert sich die Varianz, wenn ich alle Werte verändere?
Addierst du zu allen Werten dieselbe Zahl, bleibt die Varianz gleich, denn die Abstände ändern sich nicht. Verdoppelst du alle Werte, vervierfacht sich die Varianz, weil der Faktor quadriert wird.
Weitere Rechner
- Mittelwert-Rechner Alle Mittelwerte auf einmal, mit Rechenweg
- Notendurchschnitt Schule, Oberstufen-Punkte, Uni
- Arithmetisches Mittel Formel, Häufigkeitstabelle, Klassen
- Gewichtetes Mittel Notenschnitt, ECTS, Gewichtungen
- Geometrisches Mittel Wachstumsraten und Faktoren
- Harmonisches Mittel Geschwindigkeit, Preise, Widerstände
- Durchschnittsgeschwindigkeit Strecke durch Zeit, auch in Etappen
- Quadratisches Mittel RMS und Effektivwert
- Median Der Wert in der Mitte
- Standardabweichung Wie stark die Werte streuen